按揭利率和每期供款

我一直以为房贷按揭利率和每期供款的算法，是人尽皆知的常识。最近偶遇网友，才发现绝大部分人其实对银行是怎么算账，怎么从他们身上赚按揭利息的，基本搞不清楚。鉴于咱不能让银行挣了钱，还被人挣得稀里糊涂，我叔决定一次把这个问题讲透。

资金的时间成本

资金是有时间成本的，问人借钱，到期除了还本之外，还要支付利息，这利息就是资金的时间成本。

同样道理，如果你把钱存在银行，就相当于把钱借给了银行，存款到期，银行就得给你支付利息。

时间成本有高有低，对应表现就是利率的不同。如果按年利率 12%计算，你今天存到银行或借给朋友 100 元，一年后对方就应该还本付息 112 元。

复利和连续复利

利息看似简单，但在银行这里，就会有很多弯弯绕。跟居民切身利益最相关的房贷按揭中，简单的利息却有相当复杂的算法。

跟通常认为的最大一个区别是利息的分摊。银行在计算按揭利息的时候，从来不直接用年利率，而是分摊到月，按月利率复合计算。这样一来，借款人实际承担的年利率，就要比名义利率高。

这是怎么来的呢？我们按年利率 12%来举个例子。

通常理解，年利率就按年来算，所以到年底连本带利应该是： $100 \times (1+12\%) = 112$ 元。
按揭做法，年利率分摊到月，月息就是$12\% / 12 = 1\%$，每月计一次，连续计算 12 个月，年底按复利收息： $100 \times (1+1\%)^{12} = 112.68$ 元。

这样做的结果，就是银行实际的利率不是 12%，而是 12.68%。小伙伴可不要小看这 0.68%的差别，据我叔拍脑袋估计，工农中建交这 5 家的个人住房按揭贷款总量就突破 20 万亿，这每一个基点的利率差异，就是巨量的利润！

现值和未来值

这些个名词有点拗口，但只要了解意思，其实都是很直白的概念。

现值就是资金在今天的价值，你存银行 100 元也好，还是从银行借 100 元也好，100 元在今天就值 100 元。

未来值是说今天这 100 元到一年后的价值，这里就必须考虑利息，按上面的举例，今天的 100 元就相当于一年后的 112 元。

那你要是问，这今天的 100 元，和一年后的 112 元，那个更值钱？不考虑通胀因素，我们说今天的 100 元，从价值上就等于一年后的 112 元。换个角度说，同样的 100 元，今天就到手的 100 元，就比一年后才能到手的 100 元要值钱，因为今天的 100 元，比起一年后多出了一个赚利息的机会，这就叫现金的时间价值。

所以，父母如果跟孩子说，压岁钱先帮你存起来，以后再给你，本质上就是无偿占用了压岁钱的时间价值。我家小孩还不懂现值和未来值的区别，等他有机会看了这篇文章，下回估计就要跟他妈好好讨论压岁钱的保管问题了。

净现值

现在我们假设银行永不破产、也不会违约，到期就支付 12%的利息，在这个前提下，我们来聊聊净现值的算法。

假设你现在手里有 100 万元，想投资个项目。谁都知道投资做生意不容易，劳心劳力，还要承担经营风险。不用多想，你就能明白，这投资买卖如果不能给你带来超过 12 万元的收益，你不如把钱存银行，一年啥都不干，旱涝保收 12 万利息。收益超过 12 万，比方说有 20 万，才算是投资挣到钱了。

按行业惯例，我们需要把一年后连本带利收回的钱，都按银行利率折算到今天，看一年后的 120 万元，相当于今天的多少钱？我们这里还是用银行的年利率 12% 来折算。

\[\begin{align*} x \times (1+12 \%) &= 1,200,000 \\ x &= 1,200,000 / (1+12\%) \\ x &= 1,071,429 \end{align*}\]

好了，我们现在知道，一年后的 120 万元，相当于今天的 1,071,429 元。这个数，要多过今天你实际手里的 100 万元，这个多出来的 71,429 元，就是净现值。净现值为正，说明投资收益好过银行存款，这买卖从经济上值得干（这里我们不考虑做生意的风险和心力付出，虽然我叔也同意，辛苦一年才多挣不到 8 万，似乎不太值当）。

有小伙伴要问了，我可不可以不算净现值，而都按到期回本多少，来计算挣不挣钱？我挣了 20 万，比存银行吃利息多了 8 万，那算 8 万为净到期收益，岂不是更直观？诶，要是这么提问题就非常好，说明你动脑子了！

为回答这个问题，我们假设另一种情况：这笔投资不是一次回本，而是分成两年收回，其中第一年底收回 60 万，第二年底再收回 60 万。那么我问你，怎么算比较收益？

实际上都可以算，但终归你要选定一个时间点，把所有与投资相关的进项出项都折到这个时间点来比较。我们通常都选现在这个时间点，用净现值去评判任何一个项目的投资收益，是考虑到任何投资的未来收益，正常来说不会只有一次回本的时机，通常都是分布到未来若干年，逐步分期回收。选未来任何一个时间点，都不如直接选今天方便。因为选今天，马上就可以算出来一个净现值，从而判断这个投资项目是挣钱还是亏钱。

回到上面的二次回本的情况，我们不妨继续应用复利的公式，来算一下这种情况下的净现值。这里我们用 NPV (Net Present Value) 来表示净现值。

\[\begin{align*} NPV &= \frac{600,000}{1+12\%} + \frac{600,000}{(1+12\%)^2} - 1,000,000 \\ &= 535,714 + 478,316 - 1,000,000 \\ &= 14,030 \end{align*}\]

小伙伴发现没，虽然你收回的投资还是 120 万没变，但是因为你有一半需要等到第二年年底才能收回，通俗地说，两年后的钱比今天不值钱，所以才会导致净现值跌了这么多。

影响净现值的两个因素，其中之一就是上面举例的回收周期。接下来讲另一个，折现利率。

我们继续用上面的例子，但这回银行利率变了，不再是 12%，而是 6%：

\[\begin{align*} NPV &= \frac{600,000}{1+6\%} + \frac{600,000}{(1+6\%)^2} - 1,000,000 \\ &= 566,038 + 533,998 - 1,000,000 \\ &= 100,036 \end{align*}\]

很明显，银行的利率给的越低，投资回报的相对收益就越高。如果你是用自己的积蓄做买卖，银行利率低意味着你可以躺赢的钱就少了，如果你是用贷款融资做买卖，银行利率低意味着你需要支付的资金成本也低了，两者都表示说做生意的相对回报提高了。

投资的回报周期各有不同，没法统一调节，但利率是银行定的，非常容易调整。所以你看，无论是美联储也好，还是中国人民银行也好，要想影响经济活动都会考虑调整利率的手段。经济太旺要压一压，加息，增加市场上的资金成本，让投资项目的净现值降下来，大家就不愿意去做生意了；经济疲软要刺激一下，减息，降低资金成本，让投资项目的净现值上去，大家发现投资能挣到钱了，纷纷去做生意。

内部收益率

是谁想出来这么个莫名其妙的词汇？这个词来源于英文 Internal Return Rate，但我叔发现这个词无论中英文都有点不着调，讲白了，就是项目的投资收益率，跟内不内部没啥关系。有小伙伴一定要给我解释内部是啥意思，打住！我知道你要说什么，但是，我就是觉得不贴切。

内部收益率的算法，最好的说明不如举例子，我们用一年回报 120 万，和两年回报 120 万，分别来算一下。为书写方便，我们用$r$表示内部收益率。

第一个例子的方程式如下：

\[\begin{align*} 1,000,000 &= \frac{1,200,000}{1+r}\\ 1+r &= \frac{1,200,000}{1,000,000}\\ r &=20 \% \end{align*}\]

所以，第一个例子中，内部收益率就是 20%。

第二个例子的方程式如下：

\[\begin{align*} 1,000,000 &= \frac{600,000}{1+r} + \frac{600,000}{(1+r)^2} \\ r &= 13.066\% \end{align*}\]

第二个例子中，内部收益率就是 13.066%。

银行按揭的算法

上面讲了这么多铺垫内容，终于到了正题环节，咱开聊按揭的算法。

假设你现在看中了一套房，想从银行办个 120 万人民币，10 年期的按揭贷款，目前银行的贷款利率比较优惠，只有年化 4.8%。

银行销售一定会给你提供两种还款方案，一种叫等额本金，另一种叫等额本息。银行小姐姐会给你比较两种方案各自的利弊，但咱今天要搞点硬核的内容，所以抛开文字表述，直接用数字来说明两者的区别。

等额本金

谈等额本金，前面我们介绍的那些复利的概念就完全没有用武之地了，因为等额本金不算复利。

你的还款周期是 120 个月，所以每个月的本金还款额就是 1 万，这是等额本金这种按揭方式的命名来源。

等额本金的利息怎么算？按未清偿的贷款余额为基础，以月息为利率，每个月算一次。第一个月底，你的欠款是 120 万，你需要支付的利息是：

\[\begin{align*} 利息 &= 1,200,000 \times (4.8\% / 12) \\ &= 1,200,000 \times 0.4 \% \\ &= 4,800 \end{align*}\]

所以你第一个月的还款总额是 1 万本金加上 4800 元的利息，总计 14800 元。第二个月底，因为本金只有 119 万，所以上面的利息计算公式就应当以 119 万为基数。

期数	本金	利息	合计
1	10000	4800	14800
2	10000	4760	14760
3	10000	4720	14720
…	…	…	…
120	10000	40	10040

等额本息

等额本息的算法就稍微复杂一点，但原理跳不出上面的介绍。顾名思义，等额本息的借款人，在贷款期限内，每期还款给银行的金额是相等的。

至于每期应当还款多少？就需要把上面介绍的计算投资项目净现值的公式反过来用，简单说就是每期还款全部按按揭利率（月利率）折现到放款那天，刚好等于银行的放款总额，公式如下：

\[\begin{align*} 1,200,000 = \frac{pmt}{1+0.4\%} + \frac{pmt}{(1+0.4\%)^2} + \cdots + \frac{pmt}{(1+0.4\%)^{120}} \end{align*}\]

每月还款额（月供）我们用 PMT 表示，就是英文 Payment 的缩写。

上面的方程式是个等比数列，我们可以在方程式两边都乘以等比比例$\frac{1}{1+0.4\%}$，得到一个新的等式，

\[\frac{1,200,000}{1+0.4\%} = \frac{pmt}{(1+0.4\%)^2} + \frac{pmt}{(1+0.4\%)^3} \cdots + \frac{pmt}{(1+0.4\%)^{121}}\]

然后我们把上下两个方程式相减，右边就可以消去中间的 118 项，只留头尾两项，

\[1,200,000 - \frac{1,200,000}{1+0.4\%} = \frac{pmt}{1+0.4\%} - \frac{pmt}{(1+0.4\%)^{121}}\]

整理合并一下，我们就得到 $pmt$ 的计算公式如下：

\[\begin{align*} pmt &= \frac{1,200,000 \times (1+0.4\%)^{120} \times (0.4\%)}{(1+0.4\%)^{120} -1} \\ &= 12,610.87 \end{align*}\]

等额本息的算法到目前还算正常，但接下来银行算利息的方式，我叔认为就属于骚操作了。

小伙伴看了上面月供的计算过程，是不是认为第$n$个月的本金和利息分配，应该是这样的：

本金=$12,610.87 / (1+0.4\%)^n$；
利息=$12,610.87 -$ 本金

No!!! 其实是这样的：

第一个月的利息= $1,200,000 \times 0.4 \% = 4,800$
第一个月的本金= $12,610.87 - 4,800 = 7,810.87$

第二个月的利息= $(1,200,000 - 7,810.87) \times 0.4 \% = 4,768.76$
第二个月的本金= $12,610.87 - 4,768.76 = 7,842.11 $

往后月份，以此类推…

小伙伴看明白上面的算法思路了吗？

等额本息方式下，银行按复利计算总利息，但在月供时，却按本金余额统计利息和本金的分配比。由于前期等额本息的月供款金额少，所以相对本金清偿部分就更少，让后面的利息收入持续在更高的基数上计算！

期数	本金	利息	合计
1	7,810.87	4800	12,610.87
2	7,842.11	4,768.76	12,610.87
3	7,873.48	4,737.39	12,610.87
...	...	...	...
120	12,560.62	50.25	12,610.87

总结一下，采用等额本息对银行有两个好处：

◆ 按复利计息，借款人需要向银行实际支付比表面利率更高的利息；

◆ 前期还款更多计为利息，使借款人的贷款余额始终比等额本金高，在提前还贷或利率调升时，有利银行，不利借款人。

有小伙伴要问了，那是不是利率调降时，就对等额本息借款人比较有利呢？

呃…

利率调降时，难道就你降，等额本金的借款人不降？人家前面付的利息没你多，后面剩的本金比你少，你说你是不是亏大了？

后续

我叔从网上找了一个按揭贷款计算器，链接放在下方，有需要的小伙伴可以自己算算。

这里需要说明一下，这个是国外网站做的，所以有保险、CPI 和管理费这些选项，咱国内不适用，就直接选 0 即可，不影响最终的计算结果。